Revisão para a prova – capítulo 4 e 5

1. Com base nos dados apresentados na tabela abaixo e nos conhecimentos adquiridos no capítulo 4, estime as alturas das seguintes árvores

Árvore	Distância	Declividade Grau	%	Leitura Superior	Inferior
1	17	4	–	+16m	-3m
2	23	9	–	+21m	+9m
3	28	18	–	63%	12%
4	15	–	10	50%	-15%
5	15	–	29	35o	10o
6	20	25	–	38o	9o

Resolução

Árvores 1, 2 → medidas diretas, porque já a leitura já está em metros e tem grau menor que 10^o.

H = h₁ +ou- h₂

• quando tem sinais iguais, diminuir
• quando tem sinais diferentes, somar

• árvore 1: H = h₁ + h₂ –> 16 + 3 = 19m
• árvore 2: H = h₁ – h₂ –> 21 – 9 = 12m

Árvore 3, 4 → leitura está em porcentagem, usar fórmula com 100

H_% = D_campo/100 (P₁ +ou- P₂)

• árvore 3: tem declividade de 18^o (que é maior que 10^o ), então precisa corrigir a distância do campo
  
  cos α. Dcampo
  cos 18. (28) = 0,9510 x 28 = 26,6m
  
  H_% = D_{campo-corrigido}/100 (P₁ +ou- P₂)
  H = 26,6/100 (63 – 12)
  H = 0,266 (51)
  H = 13,57m

Árvore 5, 6 → está em grau, usar a fórmula com tangente

• árvore 5: tem declividade de 29%, precisa calcular o quanto isso vale em grau para ver se é menor que 10^o
  
  calcular o inverso da tangente
  na calculadora, apertar SHIFT [tan^-1] de {0,29}* → colocar em decimal, para obter o grau
  tan^-1 0,29 = 16,17^o → como é maior que 10^o, tem que corrigir a distância de campo.
  
  cos α. Dcampo
  cos 16,17. (15) = 0,9604 x 15 = 14,4m
  
  H^o = D_{campo-corrigido} (tan α +ou- tan δ)
  H = 14,4 (tan 35 + tan 10)
  H = 14,4 (0,70 + 0,17)
  H = 14,4 (0,87)
  H = 12,52m
  
• árvore 6: tem declividade de 25^o, tem que corrigir a distância de campo.
  
  cos α. Dcampo
  cos 25 (20) = 0,9063 x 20 = 18,13m
  
  H^o = D_{campo-corrigido} (tan α +ou- tan δ)
  H = 18,13 (tan 38 – tan 9)
  H = 18,13 (0,78 – 0,16)
  H = 14,4 (0,62)
  H = 11,24m

2. Com base nas medidas obtidas na tora abaixo, calcule

a) Volume por Smalian

PASSO 1: pegar o diâmetro das duas extremidades e do diâmetro central (do meio), criando duas seções

seção 1: D₁ = 69cm; D_1/2= 74cm;
seção 2: D_1/2= 74cm; D₂ = 82cm.

PASSO 2: Calcular a área (g) desses diâmetros

gD = D². π / 40000

• gD₁ = (69)².π / 40000 = 0,3739 m²
• gD_1/2= (74)².π / 40000 = 0,4301 m²
• gD₂ = (82)².π/ 40000 = = 0,5281 m²

PASSO 3: Calcular o volume das duas seções e depois somar

V_smalian = (g1 + g2 / 2).L

• seção 1 = (0,3739 + 0,4301 / 2). 4 = 1,608 m³
• seção 2 = (0,5281 + 0,4301 / 2). 4 = 1,916 m³
• seção 1 + seção 2 = 3,5244 m³

b) Volume por Huber

PASSO 1: dividir a tora no meio e criar duas seções. Dessas seções, anotar o diâmetro anotado do metade de cada uma delas

seção 1: D_a/2 = 70cm;
seção 2: D_b/2 = 79cm

PASSO 2: Calcular a área (g) a partir desses diâmetros

gD = D². π / 40000

• gD_a/2 = (70)².π / 40000 = 0,3848 m²
• gD_b/2= (79)².π / 40000 = 0,4902 m²

PASSO 3: Calcular o volume das duas seções e somar

V_huber = g_n/2.L

• seção 1 = 0,4902. 4 = 1,9608 m³
• seção 2 = 0,3848. 4 = 1,5392 m³
• seção 1 + seção 2 = 3,5000 m³
  

c) Volume por Newton

PASSO 1: criar duas seções

seção 1
seção 2

PASSO 2: Anotar todas as áreas (g) já calculados nos métodos anteriores

gD = D². π / 40000

• gD₁ = (69)².π / 40000 = 0,3739 m²
• gD_a/2 = (70)².π / 40000 = 0,3848 m²
• gD_1/2 = (74)².π / 40000 = 0,4301 m²
• gD_b/2 = (79)².π / 40000 = 0,4902 m²
• gD₂ = (82)².π/ 40000 = 0,5281 m²

PASSO 3: Calcular o volume das duas seções e somar

V_newton = [g1 + 4.(g_1/2) + g2] / 6 . L

• seção 1 = [0,3739 + 4(0,3848) + 0,4301] / 6 . 4 = 1,5621 m³
• seção 2 = [0,4301 + 4(0,4902) + 0,5281] / 6 . 4 = 1,9460 m³
• seção 1 + seção 2 = 3,5081 m³
  

d) Volume por Francon

PASSO 1: usar a medida do diâmetro da metade da tora

D_1/2= 74

PASSO 2: A partir do diâmetro central, calcular a circunferência média da árvore

C = D. π

C = 74. π

C = 232,48 cm → 2,3248 m

PASSO 3: Calcular o volume total com um único cálculo

V_francon = (C/4)² . L

V_francon = (2,3248/4)² . 8

V_francon = 0,3378 . 8

V_francon = 2,7024 m³

3. Considerando os valores observados de DAP (cm), Hc (m) e Volume (m³) na tabela abaixo, faça os ajustes utilizando os modelos propostos, cujos parâmetros (β₀, β₁) devem ser obtidos pelo Método dos Mínimos Quadrados Ordinários

Árvore	DAP (cm)	x1 1/DAP	y Hc (m)	Vol (m3)	y lnV	x1 ln(DAP2.H)
1	60,8	0,0164	13,9	2,614	0,9609	10,8471
2	61,7	0,0162	14,7	3,217	1,1684	10,9324
3	71,9	0,0139	20,3	4,843	1,5775	11,5612
4	87,9	0,0114	21,9	5,994	1,7908	12,0389
5	97,7	0,0102	22,8	7,832	2,0582	12,2906
6	101,9	0,0098	30,6	13,952	2,6356	12,6690

β₁*= [∑_xy – (∑_x.∑_y/n)] / ∑x² – (∑x)²/n

RELAÇÃO HIPSOMÉTRICA x (1/DAP) , y (Hc)
Passo 1 – Digitar na calculadora MODE 3 – 1 Regressao linear

0,0164 , 13,9 M+
0,0162 , 14,7 M+
0,0139 , 20,3 M+
0,0114 , 21,9 M+
0,0102 , 22,8 M+
0,0098 , 30,6 M+

Passo 2 – Apertar SHIFT [S-VAR] e duas vezes a seta pra direita, vai aparecer A e B, sendo o valor de A o β₀ e o de B o β₁ .

β₀ = 45,3647

β₁ = 1.899,7263

Passo 3 – Preencher valores na fórmula abaixo e guardar para o passo 4

H = β₀ + β₁* (1 / DAP) + ε
H = 45,3647 + 1.899,7263 . (1 / DAP)

RELAÇÃO VOLUMÉTRICA x (lnDAP2.H) , y (lnV)
Passo 1 – Digitar na calculadora MODE 3 – 1 Regressao linear

10,8471 , 0,9609 M+
10,9324 , 1,1684 M+
11,5612 , 1,5775 M+
12,0389 , 1,7908 M+
12,2906 , 2,0582 M+
12,6690 , 2,6356 M+

Passo 2 – Apertar SHIFT [S-VAR] e duas vezes a seta pra direita, vai aparecer A e B, sendo o valor de A o β₀ e o de B o β₁ .

β₀ = -7,7499

β₁ = 0,8060

Passo 3 – Preencher valores na fórmula abaixo e guardar para o passo 4

InV = β₀ + β₁* ln(DAP²*H) + ε
lnV = -7,7499 + 0,8060 . ln(DAP².H)

Passo 4 – Resolver as duas fórmulas para uma árvore de DAP = 85cm

ALTURA	VOLUME
H = 45,3647 + 1.899,7263 . (1 / DAP) H = 45,3647 + 1.899,7263 . (1 / 85) H = 45,3647 – 22,3497 H = 23,0151 -> 23,03m	lnV = -7,7499 + 0,8060 . ln(DAP2.H) lnV = -7,7499 + 0,8060 . ln(852.23,03) lnV = -7,7499 + 0,8060 . 12,0337 lnV = -7,7499 + 9,689812 lnV = 1,9399 –> [SHIFT ln] –> exx 1,9399 = 6.9581 m3